إستراتيجية التعلم بالأكتشاف في تدريس الرياضيات إطار مفاهيمي
إستراتيجية التعلم بالأكتشاف في تدريس الرياضيات إطار مفاهيمي
لتنزيل الملف كامل علي الرابط
http://www.fadhaa.info/up/uploads/470cc1c870.doc
التعلم
بالإكتشاف في الرياضيات
تعريف
التعلم بالإكتشاف
إنه وسيلة يكتسب بها شخص معرفة ما عن
طريقة أستخدام مصادره العقلية أو الفيزيقية .
والمعنى الضيق : أنه
التعلم الذي يحدث كنتيجة لمعالجة المتعلم المعلومات وتركيبها وتحويلها حتى يصل إلى
معلومات جديدة .
أهداف
أستراتيجيات الإكتشاف
1. يتعلم الطلاب من خلال اندماجهم في دروس الاكتشاف بعض الطرق
والأنشطة الضرورية للكشف عن أشياء جديدة بأنفسهم .
2. ينمي الطلاب اتجاهات واستراتيجيات تدريبية
تستخدم في حل المشكلات والاستقصاء والبحث .
3. تساعد دروس الاكتشاف الطلاب على زيادة
قدراتهم على تحليل وتركيب وتقويم المعلومات بطريقة عقلانية .
4. هناك إثباتات داخلية مثل الميل إلى المهام
التعليمية والشعور بالمتعة وتحقيق الذات عند الوصول إلى اكتشاف ما .
الأهداف الخاصة والمحدودة
من الأهداف الخاصة والمحدودة للتعلم
بالاكتشاف بالرياضيات :
أ. يتوفر لدى الطلاب فرصة كونهم يندمجون بنشاط في الدرس .
ب. يتعلم الطلاب من خلال استراتيجيات الاكتشاف
أن يجدوا أنماط في المواقف المحسوسة والمجردة كما يتعلمون أيضا أن يصلوا إلى
المزيد من المعلومات بأن يذهبوا إلى أبعد من البيانات المعطاة لهم .
ج. تساعد في أنماط طرق فعالة للعلم الجماعي
ومشاركة المعلومات والاستماع إلى أفكار الآخرين واستخدامها .
أنواع التعلم بالإكتشاف
1. التعلم الحر . هو التعلم الذي من خلاله يصل الطالب بنفسه لاكتشاف المعلومة ، أي أن المعلم ليس له دور في عملية
التعلم .
2. التعلم الموجه . هو التعلم
الذي من خلاله يصل الطلبة إلى المعلومة بمساعدة وتوجيه من المعلم . أي أنه يكون
دور المعلم موجه ومرشد .
استراتيجيات الاكتشاف الاستقرائي والاستنباطي
استراتجيات الاكتشاف الاستقرائي
تعرف . بأنها الوصول من حالات خاصة إلى تعميمات .
استراتيجيات الاكتشاف الاستنباطي
تعرف
. بأنها الوصول من تعميمات إلى حالات خاصة على
الرغم من تعريف الاكتشافين الاستقرائي والاستنباطي كعملين مختلفين إلا أن معظم
الاكتشافات الحقيقية تتم بإستخدام العملين معا .
وهذا يدعونا إلى القول بأن استراتيجية
الاكتشاف الاستقرائي هي الاستراتجية التي يغلب عليها عمليات الاستقرار
والاستراتيجية الاستنباطية هي التي يغلب عليها عمليات الاستنباط .
دروس الاكتشاف
على الرغم من أن المحاضرات البحتة التي
يلقيها المعلون نادراً ما تشجع الطلاب على الاكتشاف إلا أن التدريس بالعرض المباشر
مع تكرار الأسئلة من المدرس والتفاعلات مع الطلاب يمكن أن تثير بعض الاكتشافات عند
الطلاب وعند استخدام العرض المباشر لتحفيز الاكتشاف يكون دور المعلم هو دور المرشد
أو قائد المناقشات وعليه ألا يقدم المعلومات جاهزة بنفسه وعليه أن يشجع الأفكار
بين الطلاب ويوجهها ولا يشجع المناقشات التي يعلم أنها لن تصل إلى نتيجة .
إرشادات وأنشطه في دروس الاكتشاف
فيما يلي بعض الإرشادات والأنشطة التي
يمكن تضمينها في دروس الاكتشاف في العرض المباشر:
أ. يمكن
تقويم أسئلة ومشكلات ومواقف لتحفيز الأنشطة التي تقود إلى الاكتشاف .
ب. يمكن
تحليل الحوار والمهارت الرياضية لاكتشاف المفاهيم والمبادئ الرياضية .
ج. يجب أن يبدأ كل درس اكتشاف بمعلومات معروفة
وتقديم خطوة فخطوة إلى المعلومة الجديدة والاكتشاف العامة .
د. يجب أن تستخدم استراتيجيات التقويم القبلي
للتعرف على مدى إقبال الطلاب للمفاهيم والمبادئ المتطلبة لعمل اكتشاف استقرائي أو
استنباطي متوقع .
هـ. ينبغي أن يسمح المعلم بأن يقوم الطلاب
بالاكتشاف بطرق متعددة .
و. إعطاء الأسئلة القيادية والإرشادية
المفتاحية .
ز. ينبغي أن يسمح للطلاب أن يختاروا أسئلتهم
وأنشطتهم قد تكون مفيدة في عملية الاكتشاف .
ح. العمل في مجموعة أفضل من العمل الفردي لأن
الجماعة تمد بوفرة من الأفكار وأوجه النقد .
نتائج دروس الاكتشاف
فقد أجرينا بعض الدراسات للمقارنة بين
أثر التعلم بالاكتشاف على تحصيل التلاميذ وبين طرق أخرى وكانت نتائج هذه الدراسات
غير عند النظر إلى متوسطات المجموعات ومع ذلك هناك بعض الشواهد تؤثر بأن طريقة
الاكتشاف قد تزيد الدوافع ويبدوا أنها يمكن أن تكون مدخلاً فعالاً في تدريس بعض
الموضوعات الرياضية .
14. بعض الجوانب السلبية في التعلم بالاكتشاف هي
عدم وجود نظام محدد يعمل على تصحيح مسار الطلاب في حالة وصولهم إلى نتائج خاطئة أو
اكتشافات غير صحيحة واستغراق وقت أكثر مما تستغرقه الطرق الأخرى كما أن الطلاب
المتعودين على المداخل المتمركزة حول المعلم قد يواجهون باحباطات نتيجة عدم قدرتهم
على تحمل مسؤولية الوصول إلى اكتشاف تعميمات بأنفسهم .
فيما يلي
بعض المسائل وحلها حسب طريقة الاكتشاف:
المسألة الأولى: ما هو رقم آحاد العدد 2105؟
إن الآلة الحاسبة التي بين أيدي التلاميذ لن تسعفهم في حل هذه المسألة. إذ
أن الآلة الحاسبة تقرب العدد 2105 الى 1031×4.056481921. أي أن الآلة
الحاسبة اعتبرت جميع الأرقام التي تأتي على يمين العدد 4056481921 والتي
عددها 22، أصفاراً. ولكن مما هو معلوم فإن العدد 2105 لا يقبل القسمة على 5
أي أن رقم آحاده لا يمكن أن يكون صفراً.
توجيه المعلم: حلوا المسألة باستبدال العدد 105 مرة بالعدد 1، مرة بالعدد
2، مرة بالعدد 3، مرة بالعدد 4، ومرة بالعدد 5، وحاولوا استخلاص فكرة.
يتوصل التلاميذ الى الجدول الآتي:
العدد رقم آحاده
21 2
22 4
23 8
24 6
العدد رقم آحاده
25 2
26 4
27 8
28 6
من السهل أن يلاحظ التلاميذ أن الأرقام (2,4,8,6) تعود على نفسها، ومن
السهل أن يكتشفوا: أنه عندما يكون n من مضاعفات العدد 4 فإن: رقم آحاد
العدد 2n هو6، وأن رقم آحاد العدد 2n+1 هو 2 ، وأن رقم آحاد العدد 2n+2 هو 4
، وأن رقم آحاد العدد 2n+3 هو 8. من هنا يكتشفون بسهولة أن رقم آحاد العدد
2105 هو 2 لأن 4.26+1=105.
المسألة الثانية:
في التصفيات للفوز ببطولة تنس الطاولة يشترك 1000 لاعب. يشترك في كل مباراة
لاعبان. كل مباراة تنتهي بفوز لاعب وخسارة اللاعب الآخر. اللاعب الخاسر في
إحدى المباريات لا يشترك في مباريات أخرى، والفائز يواصل المشوار. البطل
هو اللاعب الذي لم يخسر في أية مباراة بعد أن خسر كل لاعب من اللاعبين
الآخرين في إحدى المباريات.
كم مباراة ستجرى؟
توجيه: حل المسألة باستبدال العدد 1000 بالعدد 1 مرة، بالعدد 2 مرة، بالعدد
3 مرة، بالعدد 4 مرة…
الجدول الذي سيتوصل إليه الطلاب:
عدد اللاعبين عدد المباريات
2 1
3 2
4 3
5 4
ومن السهل أن يكتشفوا أن عدد المباريات أقل بواحد من عدد اللاعبين، وعليه
فإن الجواب في حالة كون اللاعبين 1000 هو 999.
قد يلاحظ الطلاب أن عدد المباريات يساوي عدد المهزومين، والأمر واضح فكل
مهزوم سيشارك في مباراة واحدة فقط. ولكن ملاحظتهم هذه، وهي ملاحظة حكيمة،
تأتي بعد معرفتهم للجواب، وهذه الملاحظة هي عملياً برهان على صحة إجابتهم.
المسألة الثالثة:
من أجل أن يدخل الشخص الى القصر فإن عليه اجتياز 5 بوابات. على كل بوابة
يقف حارس. يأخذ الحارس من الشخص نصف ما معه من نقود ويعطيه ديناراً واحداً،
كم كان في جعبة شخص دخل القصر ومعه ديناران؟
بعد أن يوجه المعلم المسألة لتلاميذه يجد أنهم يتسابقون الى الإجابة: كان
معه ديناران.
إن من عادة المعلم أن يسأل عن التفسير. وكعادتهم يقول الطلاب: نفحص ذلك.
يباشر الطلاب في الفحص والمعلم غير مبال لما يقولون لأنه يعلم أن جوابهم
صحيح. كيف يواصل المعلم؟
هناك معلم ينتقل الى شيء آخر، قد يشجع الطلاب بكلمة جميلة وقد لا يفعل.
هناك معلم يعرف أن طلابه قد توصلوا الى النتيجة عن طريق التخمين، وفي نظرة
"التخمين" ليس طريقة رياضية، فتراه يحملق في طلابه قائلاً: أريد طريقة لحل
المسألة!! ماذا يحدث هنا! الطلاب حلو المسألة ولم يحصلوا على أي تعزيز من
معلمهم، المعلم يشعر أنه لم يفد طلابه في شيء من عرضه لهذه المسألة من
الناحية الرياضية. المسألة محلولة والمعلم يحث طلابه على حلها بطريقة
رياضية. في هذه الحالة فإن المعلم يشعر طلابه بأن الرياضيات هو موضوع صعب
المراس، نبحث فيه عن الطرق الصعبة لحل المسألة السهلة. ألا يسبب هذا
إحباطاً لأفضل الطلاب!
أما المعلم الحكيم فإنه يفرح لفرح طلابه باكتشاف حل المسألة، فالمسألة هي
أحجية جميلة. يتوجه الى طلابه بالسؤال: ماذا يكون الجواب لو استبدلنا العدد
5 بالعدد 10؟ بعد لحظات ينهض الطلاب يقولون: يبقى الجواب على ما هو، حتى
لو استبدلنا العدد 5 بالعدد 100 (أو بأي عدد آخر).
يتوجه الى طلابه بطلب آخر: أبقوا العدد 5 على حاله واستبدلوا كلمة
"ديناران" ب "ثلاثة دنانير". بحماس شديد يتوجه الطلاب عازمين على حل
المسألة، أشبه بفريق أحرز هدفين في مرمى الخصم في الدقائق الخمس الأولى.
المعلم يراقب سلوك طلابه. قد يلاحظ أن بعضهم قد أهملوا حل المسألة. عندها
يتوجه إليهم ويوجههم الى تصغير عدد البواب من 5 الى 1 ومن ثم الى 2. عندما
يكون عدد البوابات 1 فلا بد أن يلاحظ الطلاب أن 1+2=3 وأن 2 هو نصف ما كان
معه، لذلك كان معه 4 دنانير.
وهذه الفكرة تقودهم لحل المسألة في حالة كون عدد البوابات 2 فإن 3+1=4.
العدد 3 هو نصف ما كان معه. لذلك فقد كان معه 6 دنانير. وهكذا يتوصلون الى
طريقة الحل التراجعي، ويكون جوابهم:
قبل البوابة الأولى كان معه 4 دنانير، قبل البوابة الثانية كان معه 6
دنانير، قبل الثلاثة كان معه 10 دنانير، قبل الرابعة كان معه 18 ديناراً.
وقبل الخامسة كان معه 34 ديناراً.
القاعدة التي قد ينطق بها الطلاب: نطرح 1 ونضرب الناتج في 2.
من حل المسألة يتبين للطلاب أن "التخمين" طريقة قد يطول عدد مراحلها، وبذلك
فهي تحتاج الى الوقت الكثير، وبذلك فإن اهتمامهم بالتفكير التحليلي سيأخذ
بالازدياد.
المسألة الرابعة:
لنفرض أن ابناً لأبوين صالحين أنعم الله عليه بهداه فاستمع لنصح والديه
فامتنع عن التدخين ومقابل ذلك اعتاد أن يوفر يومياً مبلغاً من المال يساوي
ثمن علب السجائر الذي كان سيدفعه فيما لو لم يفعل ذلك (لنفرض أن ذلك 20
شيكلاً) لمدة خمسة أعوام. خلال هذه الفترة من الزمن فإنه سيدخر ما يقارب
36500 شيكلاً. (لأن 36500=20×365×5، باعتبار أن العام 365 يوماً). لنفرض
أيضاً أن الوالدين كافآ ابنهما فأكملا المبلغ الى ما يعادل 1 كيلو غرام من
الذهب. ولنفرض أن هذا الابن بدأ مشروعاً اقتصادياً برأس المال هذا (1 كيلو
غرام ذهب)، وأن الله سبحانه وتعالى بارك له في مشروعه، وأن الابن سعى في
السبل الشرعية من أجل أن يزيد رأس ماله بنسبة 20% عاماً بعد عام، وأن الله
يسر له الأمور وحقق له مسعاه، فماذا سيصير رأس ماله بعد عشرين عاماً؟ بعد
خمسين عاماً؟
الحل: نبدأ بتقصي الأمور.
في نهاية العام الأول سيصير رأس المال 1.2 كغم من الذهب، وهو رأس المال مع
بداية العام الثاني. لذلك ففي نهاية العام الثاني سيصير رأي المال، وبنفس
الطريقة نكتشف أن رأس المال في نهاية العام الثالث سيصير 3 (1.2) كغم من
الذهب. من هنا نكتشف أن رأس المال سيصير في نهاية العام رقم nمساوياً
(1.2)n كغم من الذهب. وباستعمال الحاسبة نجد أن: 38.34=20 (1.2) تقريباً و
9100=50 (1.2) تقريباً.
أي أن رأس المال سيصير بعد عشرين عاماً ما يقارب 38 كيلو غراماً و 340
غراماً من الذهب. وسيصير رأس المال بعد خمسين عاماً ما يضاهي قليلاً 9100
كيلوغراماً من الذهب. إنه لأمر مدهش حقاً. فلو افترضنا أن رأس المال
البدائي كان 50000 شيكلاً فإن رأس المال سيصير بعد 50 عاماً ما يضاهي خمسة
وأربعين مليوناً من الشواكل.
إن الحلول والنتائج التي توصل إليها التلاميذ في المسائل السابقة هي نتائج
صحيحة، وإن هذه المسائل هي أمثلة لمسائل يمكن عرضها للتلاميذ في مراحل
الدراسة الإعدادية وحتى الابتدائية. في مراحل متقدمة من واجب المعلم أن
يلفت نظر تلاميذه الى أن ليس كل ما يلمع ذهباً. فهناك قضايا يمكن أن
يكتشفوها ويتبين أنها ليست صحيحة دائماً. لنضرب مثلاً على ذلك:
القضية: 1- 2p هو عدد أولي لكل p أولي. نلاحظ أن 1-22=3 =عدداً أولياً،
1-23=7=عدداً أولياً، 1-25=31 =عدداً أولياً، 1-27=127 =عدداً أولياً. وقد
يتسرع الطالب ويظن أن القضية هي قضية صواب دائماً، ولكن عندما نفحص صحة
القضية بالنسبة للعدد 11 نلاحظ أن 1-211=2047 وهو ليس بعدد أولي لأن
89×23=2047 . هذا الأمر يحتم علينا برهان صحة النظريات التي نكتشفها.
منقول
http://www.dohamath.com/vb/showthread.php?t=1043
لتنزيل الملف كامل علي الرابط
http://www.fadhaa.info/up/uploads/470cc1c870.doc
التعلم
بالإكتشاف في الرياضيات
تعريف
التعلم بالإكتشاف
إنه وسيلة يكتسب بها شخص معرفة ما عن
طريقة أستخدام مصادره العقلية أو الفيزيقية .
والمعنى الضيق : أنه
التعلم الذي يحدث كنتيجة لمعالجة المتعلم المعلومات وتركيبها وتحويلها حتى يصل إلى
معلومات جديدة .
أهداف
أستراتيجيات الإكتشاف
1. يتعلم الطلاب من خلال اندماجهم في دروس الاكتشاف بعض الطرق
والأنشطة الضرورية للكشف عن أشياء جديدة بأنفسهم .
2. ينمي الطلاب اتجاهات واستراتيجيات تدريبية
تستخدم في حل المشكلات والاستقصاء والبحث .
3. تساعد دروس الاكتشاف الطلاب على زيادة
قدراتهم على تحليل وتركيب وتقويم المعلومات بطريقة عقلانية .
4. هناك إثباتات داخلية مثل الميل إلى المهام
التعليمية والشعور بالمتعة وتحقيق الذات عند الوصول إلى اكتشاف ما .
الأهداف الخاصة والمحدودة
من الأهداف الخاصة والمحدودة للتعلم
بالاكتشاف بالرياضيات :
أ. يتوفر لدى الطلاب فرصة كونهم يندمجون بنشاط في الدرس .
ب. يتعلم الطلاب من خلال استراتيجيات الاكتشاف
أن يجدوا أنماط في المواقف المحسوسة والمجردة كما يتعلمون أيضا أن يصلوا إلى
المزيد من المعلومات بأن يذهبوا إلى أبعد من البيانات المعطاة لهم .
ج. تساعد في أنماط طرق فعالة للعلم الجماعي
ومشاركة المعلومات والاستماع إلى أفكار الآخرين واستخدامها .
أنواع التعلم بالإكتشاف
1. التعلم الحر . هو التعلم الذي من خلاله يصل الطالب بنفسه لاكتشاف المعلومة ، أي أن المعلم ليس له دور في عملية
التعلم .
2. التعلم الموجه . هو التعلم
الذي من خلاله يصل الطلبة إلى المعلومة بمساعدة وتوجيه من المعلم . أي أنه يكون
دور المعلم موجه ومرشد .
استراتيجيات الاكتشاف الاستقرائي والاستنباطي
استراتجيات الاكتشاف الاستقرائي
تعرف . بأنها الوصول من حالات خاصة إلى تعميمات .
استراتيجيات الاكتشاف الاستنباطي
تعرف
. بأنها الوصول من تعميمات إلى حالات خاصة على
الرغم من تعريف الاكتشافين الاستقرائي والاستنباطي كعملين مختلفين إلا أن معظم
الاكتشافات الحقيقية تتم بإستخدام العملين معا .
وهذا يدعونا إلى القول بأن استراتيجية
الاكتشاف الاستقرائي هي الاستراتجية التي يغلب عليها عمليات الاستقرار
والاستراتيجية الاستنباطية هي التي يغلب عليها عمليات الاستنباط .
دروس الاكتشاف
على الرغم من أن المحاضرات البحتة التي
يلقيها المعلون نادراً ما تشجع الطلاب على الاكتشاف إلا أن التدريس بالعرض المباشر
مع تكرار الأسئلة من المدرس والتفاعلات مع الطلاب يمكن أن تثير بعض الاكتشافات عند
الطلاب وعند استخدام العرض المباشر لتحفيز الاكتشاف يكون دور المعلم هو دور المرشد
أو قائد المناقشات وعليه ألا يقدم المعلومات جاهزة بنفسه وعليه أن يشجع الأفكار
بين الطلاب ويوجهها ولا يشجع المناقشات التي يعلم أنها لن تصل إلى نتيجة .
إرشادات وأنشطه في دروس الاكتشاف
فيما يلي بعض الإرشادات والأنشطة التي
يمكن تضمينها في دروس الاكتشاف في العرض المباشر:
أ. يمكن
تقويم أسئلة ومشكلات ومواقف لتحفيز الأنشطة التي تقود إلى الاكتشاف .
ب. يمكن
تحليل الحوار والمهارت الرياضية لاكتشاف المفاهيم والمبادئ الرياضية .
ج. يجب أن يبدأ كل درس اكتشاف بمعلومات معروفة
وتقديم خطوة فخطوة إلى المعلومة الجديدة والاكتشاف العامة .
د. يجب أن تستخدم استراتيجيات التقويم القبلي
للتعرف على مدى إقبال الطلاب للمفاهيم والمبادئ المتطلبة لعمل اكتشاف استقرائي أو
استنباطي متوقع .
هـ. ينبغي أن يسمح المعلم بأن يقوم الطلاب
بالاكتشاف بطرق متعددة .
و. إعطاء الأسئلة القيادية والإرشادية
المفتاحية .
ز. ينبغي أن يسمح للطلاب أن يختاروا أسئلتهم
وأنشطتهم قد تكون مفيدة في عملية الاكتشاف .
ح. العمل في مجموعة أفضل من العمل الفردي لأن
الجماعة تمد بوفرة من الأفكار وأوجه النقد .
نتائج دروس الاكتشاف
فقد أجرينا بعض الدراسات للمقارنة بين
أثر التعلم بالاكتشاف على تحصيل التلاميذ وبين طرق أخرى وكانت نتائج هذه الدراسات
غير عند النظر إلى متوسطات المجموعات ومع ذلك هناك بعض الشواهد تؤثر بأن طريقة
الاكتشاف قد تزيد الدوافع ويبدوا أنها يمكن أن تكون مدخلاً فعالاً في تدريس بعض
الموضوعات الرياضية .
14. بعض الجوانب السلبية في التعلم بالاكتشاف هي
عدم وجود نظام محدد يعمل على تصحيح مسار الطلاب في حالة وصولهم إلى نتائج خاطئة أو
اكتشافات غير صحيحة واستغراق وقت أكثر مما تستغرقه الطرق الأخرى كما أن الطلاب
المتعودين على المداخل المتمركزة حول المعلم قد يواجهون باحباطات نتيجة عدم قدرتهم
على تحمل مسؤولية الوصول إلى اكتشاف تعميمات بأنفسهم .
فيما يلي
بعض المسائل وحلها حسب طريقة الاكتشاف:
المسألة الأولى: ما هو رقم آحاد العدد 2105؟
إن الآلة الحاسبة التي بين أيدي التلاميذ لن تسعفهم في حل هذه المسألة. إذ
أن الآلة الحاسبة تقرب العدد 2105 الى 1031×4.056481921. أي أن الآلة
الحاسبة اعتبرت جميع الأرقام التي تأتي على يمين العدد 4056481921 والتي
عددها 22، أصفاراً. ولكن مما هو معلوم فإن العدد 2105 لا يقبل القسمة على 5
أي أن رقم آحاده لا يمكن أن يكون صفراً.
توجيه المعلم: حلوا المسألة باستبدال العدد 105 مرة بالعدد 1، مرة بالعدد
2، مرة بالعدد 3، مرة بالعدد 4، ومرة بالعدد 5، وحاولوا استخلاص فكرة.
يتوصل التلاميذ الى الجدول الآتي:
العدد رقم آحاده
21 2
22 4
23 8
24 6
العدد رقم آحاده
25 2
26 4
27 8
28 6
من السهل أن يلاحظ التلاميذ أن الأرقام (2,4,8,6) تعود على نفسها، ومن
السهل أن يكتشفوا: أنه عندما يكون n من مضاعفات العدد 4 فإن: رقم آحاد
العدد 2n هو6، وأن رقم آحاد العدد 2n+1 هو 2 ، وأن رقم آحاد العدد 2n+2 هو 4
، وأن رقم آحاد العدد 2n+3 هو 8. من هنا يكتشفون بسهولة أن رقم آحاد العدد
2105 هو 2 لأن 4.26+1=105.
المسألة الثانية:
في التصفيات للفوز ببطولة تنس الطاولة يشترك 1000 لاعب. يشترك في كل مباراة
لاعبان. كل مباراة تنتهي بفوز لاعب وخسارة اللاعب الآخر. اللاعب الخاسر في
إحدى المباريات لا يشترك في مباريات أخرى، والفائز يواصل المشوار. البطل
هو اللاعب الذي لم يخسر في أية مباراة بعد أن خسر كل لاعب من اللاعبين
الآخرين في إحدى المباريات.
كم مباراة ستجرى؟
توجيه: حل المسألة باستبدال العدد 1000 بالعدد 1 مرة، بالعدد 2 مرة، بالعدد
3 مرة، بالعدد 4 مرة…
الجدول الذي سيتوصل إليه الطلاب:
عدد اللاعبين عدد المباريات
2 1
3 2
4 3
5 4
ومن السهل أن يكتشفوا أن عدد المباريات أقل بواحد من عدد اللاعبين، وعليه
فإن الجواب في حالة كون اللاعبين 1000 هو 999.
قد يلاحظ الطلاب أن عدد المباريات يساوي عدد المهزومين، والأمر واضح فكل
مهزوم سيشارك في مباراة واحدة فقط. ولكن ملاحظتهم هذه، وهي ملاحظة حكيمة،
تأتي بعد معرفتهم للجواب، وهذه الملاحظة هي عملياً برهان على صحة إجابتهم.
المسألة الثالثة:
من أجل أن يدخل الشخص الى القصر فإن عليه اجتياز 5 بوابات. على كل بوابة
يقف حارس. يأخذ الحارس من الشخص نصف ما معه من نقود ويعطيه ديناراً واحداً،
كم كان في جعبة شخص دخل القصر ومعه ديناران؟
بعد أن يوجه المعلم المسألة لتلاميذه يجد أنهم يتسابقون الى الإجابة: كان
معه ديناران.
إن من عادة المعلم أن يسأل عن التفسير. وكعادتهم يقول الطلاب: نفحص ذلك.
يباشر الطلاب في الفحص والمعلم غير مبال لما يقولون لأنه يعلم أن جوابهم
صحيح. كيف يواصل المعلم؟
هناك معلم ينتقل الى شيء آخر، قد يشجع الطلاب بكلمة جميلة وقد لا يفعل.
هناك معلم يعرف أن طلابه قد توصلوا الى النتيجة عن طريق التخمين، وفي نظرة
"التخمين" ليس طريقة رياضية، فتراه يحملق في طلابه قائلاً: أريد طريقة لحل
المسألة!! ماذا يحدث هنا! الطلاب حلو المسألة ولم يحصلوا على أي تعزيز من
معلمهم، المعلم يشعر أنه لم يفد طلابه في شيء من عرضه لهذه المسألة من
الناحية الرياضية. المسألة محلولة والمعلم يحث طلابه على حلها بطريقة
رياضية. في هذه الحالة فإن المعلم يشعر طلابه بأن الرياضيات هو موضوع صعب
المراس، نبحث فيه عن الطرق الصعبة لحل المسألة السهلة. ألا يسبب هذا
إحباطاً لأفضل الطلاب!
أما المعلم الحكيم فإنه يفرح لفرح طلابه باكتشاف حل المسألة، فالمسألة هي
أحجية جميلة. يتوجه الى طلابه بالسؤال: ماذا يكون الجواب لو استبدلنا العدد
5 بالعدد 10؟ بعد لحظات ينهض الطلاب يقولون: يبقى الجواب على ما هو، حتى
لو استبدلنا العدد 5 بالعدد 100 (أو بأي عدد آخر).
يتوجه الى طلابه بطلب آخر: أبقوا العدد 5 على حاله واستبدلوا كلمة
"ديناران" ب "ثلاثة دنانير". بحماس شديد يتوجه الطلاب عازمين على حل
المسألة، أشبه بفريق أحرز هدفين في مرمى الخصم في الدقائق الخمس الأولى.
المعلم يراقب سلوك طلابه. قد يلاحظ أن بعضهم قد أهملوا حل المسألة. عندها
يتوجه إليهم ويوجههم الى تصغير عدد البواب من 5 الى 1 ومن ثم الى 2. عندما
يكون عدد البوابات 1 فلا بد أن يلاحظ الطلاب أن 1+2=3 وأن 2 هو نصف ما كان
معه، لذلك كان معه 4 دنانير.
وهذه الفكرة تقودهم لحل المسألة في حالة كون عدد البوابات 2 فإن 3+1=4.
العدد 3 هو نصف ما كان معه. لذلك فقد كان معه 6 دنانير. وهكذا يتوصلون الى
طريقة الحل التراجعي، ويكون جوابهم:
قبل البوابة الأولى كان معه 4 دنانير، قبل البوابة الثانية كان معه 6
دنانير، قبل الثلاثة كان معه 10 دنانير، قبل الرابعة كان معه 18 ديناراً.
وقبل الخامسة كان معه 34 ديناراً.
القاعدة التي قد ينطق بها الطلاب: نطرح 1 ونضرب الناتج في 2.
من حل المسألة يتبين للطلاب أن "التخمين" طريقة قد يطول عدد مراحلها، وبذلك
فهي تحتاج الى الوقت الكثير، وبذلك فإن اهتمامهم بالتفكير التحليلي سيأخذ
بالازدياد.
المسألة الرابعة:
لنفرض أن ابناً لأبوين صالحين أنعم الله عليه بهداه فاستمع لنصح والديه
فامتنع عن التدخين ومقابل ذلك اعتاد أن يوفر يومياً مبلغاً من المال يساوي
ثمن علب السجائر الذي كان سيدفعه فيما لو لم يفعل ذلك (لنفرض أن ذلك 20
شيكلاً) لمدة خمسة أعوام. خلال هذه الفترة من الزمن فإنه سيدخر ما يقارب
36500 شيكلاً. (لأن 36500=20×365×5، باعتبار أن العام 365 يوماً). لنفرض
أيضاً أن الوالدين كافآ ابنهما فأكملا المبلغ الى ما يعادل 1 كيلو غرام من
الذهب. ولنفرض أن هذا الابن بدأ مشروعاً اقتصادياً برأس المال هذا (1 كيلو
غرام ذهب)، وأن الله سبحانه وتعالى بارك له في مشروعه، وأن الابن سعى في
السبل الشرعية من أجل أن يزيد رأس ماله بنسبة 20% عاماً بعد عام، وأن الله
يسر له الأمور وحقق له مسعاه، فماذا سيصير رأس ماله بعد عشرين عاماً؟ بعد
خمسين عاماً؟
الحل: نبدأ بتقصي الأمور.
في نهاية العام الأول سيصير رأس المال 1.2 كغم من الذهب، وهو رأس المال مع
بداية العام الثاني. لذلك ففي نهاية العام الثاني سيصير رأي المال، وبنفس
الطريقة نكتشف أن رأس المال في نهاية العام الثالث سيصير 3 (1.2) كغم من
الذهب. من هنا نكتشف أن رأس المال سيصير في نهاية العام رقم nمساوياً
(1.2)n كغم من الذهب. وباستعمال الحاسبة نجد أن: 38.34=20 (1.2) تقريباً و
9100=50 (1.2) تقريباً.
أي أن رأس المال سيصير بعد عشرين عاماً ما يقارب 38 كيلو غراماً و 340
غراماً من الذهب. وسيصير رأس المال بعد خمسين عاماً ما يضاهي قليلاً 9100
كيلوغراماً من الذهب. إنه لأمر مدهش حقاً. فلو افترضنا أن رأس المال
البدائي كان 50000 شيكلاً فإن رأس المال سيصير بعد 50 عاماً ما يضاهي خمسة
وأربعين مليوناً من الشواكل.
إن الحلول والنتائج التي توصل إليها التلاميذ في المسائل السابقة هي نتائج
صحيحة، وإن هذه المسائل هي أمثلة لمسائل يمكن عرضها للتلاميذ في مراحل
الدراسة الإعدادية وحتى الابتدائية. في مراحل متقدمة من واجب المعلم أن
يلفت نظر تلاميذه الى أن ليس كل ما يلمع ذهباً. فهناك قضايا يمكن أن
يكتشفوها ويتبين أنها ليست صحيحة دائماً. لنضرب مثلاً على ذلك:
القضية: 1- 2p هو عدد أولي لكل p أولي. نلاحظ أن 1-22=3 =عدداً أولياً،
1-23=7=عدداً أولياً، 1-25=31 =عدداً أولياً، 1-27=127 =عدداً أولياً. وقد
يتسرع الطالب ويظن أن القضية هي قضية صواب دائماً، ولكن عندما نفحص صحة
القضية بالنسبة للعدد 11 نلاحظ أن 1-211=2047 وهو ليس بعدد أولي لأن
89×23=2047 . هذا الأمر يحتم علينا برهان صحة النظريات التي نكتشفها.
منقول
http://www.dohamath.com/vb/showthread.php?t=1043
